|
|
Love-Young Inequality and Its Consequences
Sýkora, Adam ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Hlubinka, Daniel (oponent)
Bakalářská práce je zaměřená na důkaz Loveho-Youngovy nerov- nosti a objasnění jejího vztahu s frakcionálním Brownovým pohybem. Začínáme uvedením několika odhadů spolu s konceptem p-variace funkce. Dále je ob- jasněna souvislost mezi funkcemi s konečnou p-variací a regulovanými funkcemi, která je použita k důkazu zmíněné Loveho-Youngovy nerovnosti. Nedostatky tohoto přístupu k integraci jsou demonstrovány na vlastnostech frakcionálního Brownova pohybu. Právě ten představuje hlavní aplikaci získaných poznatků, kterou je integrování podle málo regulárních funkcí. 1
|
|
|
Kalman-Bucy Filter in Continuous Time
Týbl, Ondřej ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Čoupek, Petr (oponent)
V předložené diplomové práci je studován problém lineární filtrace gaus- sovského signálu v konečně-dimenzionálních prostorech. Užijeme rovnice Kal- manova typu pro odvození spojité závislosti filtru na signálu. Dále ukážeme stejnou vlastnost spojitosti pro kovarianci chyby odhadu a signálu a odvo- díme, že pro integrální rovnici, která je splněna pro filtr, existuje vždy jedno- značně určené řešení, a to i za obecnějších předpokladů. Předvedeme několik příkladů, které ilustrují spojitou závislost pro signály řizené stochastickou diferenciální rovnicí se šumem daným frakcionálním Brownovým pohybem. 1
|
|
|
Stochastic Models in Financial Mathematics
Waczulík, Oliver ; Hurt, Jan (vedoucí práce) ; Večeř, Jan (oponent)
Název práce: Stochastické modely ve finanční matematice Autor: Bc. Oliver Waczulík Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Jan Hurt, CSc., Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstrakt: Tato práce pojednává o problémech běžných stochastických modelů používaných ve finanční matematice, které jsou často způsobeny nereálnými předpoklady Bro- wnova pohybu, a zabývá se jeho sofistikovanějšími alternativami. Aplikací frak- cionálního Brownova pohybu odvozujeme modifikaci Black-Scholesova oceňovací- ho vzorce pro smíšený frakcionální Brownův pohyb. Aparát Lévyho procesů vyu- žíváme na představení subordinovaného stabilního procesu Ornstein-Uhlenbecko- va typu sloužícího na modelování úrokových sazeb. Prezentujeme postupy kalib- race těchto modelů spolu se simulační studií metod odhadu Hurstova parametru. Za účelem ilustrace praktického využití modelů obsažených v práci využíváme reálné finanční data a vlastní procedury naprogramované v systému Wolfram Mathematica. Popsaným přístupem se nám podařilo dosáhnout téměř devade- sátiprocentního poklesu hodnoty statistiky Kolmogorovova-Smirnovova testu při aplikaci subordinovaného stabilního procesu...
|
|
|
Hodnocení finančních derivátů
Matušková, Radka ; Hurt, Jan (vedoucí práce) ; Zichová, Jitka (oponent)
V předložené práci se věnujeme několika možným přístupům, jak ohodnotit finanční deriváty. V první části práce se seznámíme se základními typy derivá- tů a jak se s nimi obchoduje. Dále si ukážeme několik modelů pro hodnocení konkrétního finančního derivátu - opce. Jako první si podrobně popíšeme Black- Scholesův model, který uvažuje, že vývoj ceny podkladového aktiva se řídí dle Wienerova procesu. Následovat budou tzv. skokově difuzní modely, které jsou rozšířením Black-Scholesova modelu o skoky. Po té se dostaneme ke skokovým modelům, které jsou založeny na Lévyho procesech. Nakonec se budeme věnovat modelu, který uvažuje, že vývoj ceny podkladového aktiva se řídí podle frakci- onálního Brownova pohybu s Hurstovým koeficientem větším než 1/2. Všechny modely jsou doplněny ukázkovými příklady. 1
|
|
|
Stochastic Evolution Equations
Čoupek, Petr ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Garrido-Atienza, María J. (oponent) ; Hlubinka, Daniel (oponent)
Stochastické evoluční rovnice Petr Čoupek Disertační práce Abstrakt Tématem práce jsou lineární stochastické evoluční rovnice s aditivním regulárním volterrovským šumem. Regulární volterrovské procesy jsou stochastické procesy, které nemusejí být markovské, gaus- sovské a ani nemusejí být semimartingaly, ale namísto těchto vlastností mají jistou kovarianční struk- turu. Konkrétní příklady zahrnují frakcionální Brownův pohyb s Hurstovým parameterem H > 1/2 a, v negaussovském případě, Rosenblattův proces. Řešení uvažovaných stochastických rovnic je dáno vzorcem pro variaci konstant (v tzv. " mild" tvaru) a nabývá hodnot v separabilním Hilbertově pro- storu nebo v prostoru Lp(D; µ) pro velké p. V hilbertovském případě je studována zejména existence a regularita tohoto řešení a dále jeho chování pro velké časy. V případě, že řešení nabývá hodnot v prostoru Lp, je studována existence a regularita tohoto řešení a v konkrétních případech stochas- tických parciálních diferenciálních rovnic je ukázáno, že řešením je náhodné pole, které je spojité jak v časové, tak v prostorové proměnné.
|
|
|
Blackovy-Scholesovy modely oceňování opcí
Čekal, Martin
Název práce: Blackovy-Scholesovy modely oceňování opcí Autor: Martin Čekal Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc., Matematicko-fyzikální fakulta UK v Praze, Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. Abstrakt: V předložené práci studujeme rozšíření Blackova-Scholesova modelu pomocí frakcionálního Brownova pohybu a skokových procesů. Hlavním výsledkem je odvození ceny call opce pro frakcionální skokový trh. První kapitola se zabývá fenoménem dlouhé paměti a slouží jako úvod do problematiky jejího modelování pomocí diskrétních a spojitých modelů. Ve druhé kapitole je zaveden frakcionální Brownův pohyb a odpovídající stochastická analýza, dále rozšíříme pojem Lévyho procesu a skokového procesu. Třetí kapitola se zabývá frakcionálním Blackovým-Scholesovým modelem. Ve čtvrté kapitole jsou využity zobecnění pojmů z druhé kapitoly na konstrukci frakcionálního skokového Blackova-Scholesova modelu a odvození explicitního vzorce pro cenu evropské call opce. Pátá kapitola analyzuje dlouhou paměť v simulovaných a empirických datech. Klíčová slova: Blackův-Scholesův model, frakcionální Brownův pohyb, frakcionální skokový proces, dlouhá paměť, oceňování opcí.
|
|
|
Stochastic Evolution Equations
Čoupek, Petr ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce)
Stochastické evoluční rovnice Petr Čoupek Disertační práce Abstrakt Tématem práce jsou lineární stochastické evoluční rovnice s aditivním regulárním volterrovským šumem. Regulární volterrovské procesy jsou stochastické procesy, které nemusejí být markovské, gaus- sovské a ani nemusejí být semimartingaly, ale namísto těchto vlastností mají jistou kovarianční struk- turu. Konkrétní příklady zahrnují frakcionální Brownův pohyb s Hurstovým parameterem H > 1/2 a, v negaussovském případě, Rosenblattův proces. Řešení uvažovaných stochastických rovnic je dáno vzorcem pro variaci konstant (v tzv. " mild" tvaru) a nabývá hodnot v separabilním Hilbertově pro- storu nebo v prostoru Lp(D; µ) pro velké p. V hilbertovském případě je studována zejména existence a regularita tohoto řešení a dále jeho chování pro velké časy. V případě, že řešení nabývá hodnot v prostoru Lp, je studována existence a regularita tohoto řešení a v konkrétních případech stochas- tických parciálních diferenciálních rovnic je ukázáno, že řešením je náhodné pole, které je spojité jak v časové, tak v prostorové proměnné.
|
|
|
Stochastické diferenciální rovnice s gaussovským šumem a jejich aplikace
Camfrlová, Monika ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Večeř, Jan (oponent)
V diplomové práci je studován vícerozměrný frakcionální Brownův pohyb, který může mít různé hodnoty Hurstova parametru v různých složkách, pro tento proces je dokázána věta Girsanovova typu. Dále jsou ukázány dvě různé ap- likace této věty na stochastické diferenciální rovnice řízené vícerozměrným frak- cionálním Brownovým pohybem. Nejprve jsou nalezeny postačující podmínky pro existenci slabého řešení rovnic s driftem, který může být napsán jako součet regulární a neregulární části, a difúzním koeficientem, který závisí na čase a splňuje jisté podmínky zajištující jeho integrabilitu vzhledem k řídícímu procesu. Tyto výsledky jsou užity k důkazu existence slabého řešení rovnice popisující stochastický harmonický oscilátor. Věta Girsanovova typu je poté využita k nalezení maximálně věrohodného skalárního parametru, který se vyskytuje v driftu rovnice s aditivním šumem. 1
|
|
|
Love-Young Inequality and Its Consequences
Sýkora, Adam ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Hlubinka, Daniel (oponent)
Bakalářská práce je zaměřená na důkaz Loveho-Youngovy nerov- nosti a objasnění jejího vztahu s frakcionálním Brownovým pohybem. Začínáme uvedením několika odhadů spolu s konceptem p-variace funkce. Dále je ob- jasněna souvislost mezi funkcemi s konečnou p-variací a regulovanými funkcemi, která je použita k důkazu zmíněné Loveho-Youngovy nerovnosti. Nedostatky tohoto přístupu k integraci jsou demonstrovány na vlastnostech frakcionálního Brownova pohybu. Právě ten představuje hlavní aplikaci získaných poznatků, kterou je integrování podle málo regulárních funkcí. 1
|
|
|
Kalman-Bucy Filter in Continuous Time
Týbl, Ondřej ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Čoupek, Petr (oponent)
V předložené diplomové práci je studován problém lineární filtrace gaus- sovského signálu v konečně-dimenzionálních prostorech. Užijeme rovnice Kal- manova typu pro odvození spojité závislosti filtru na signálu. Dále ukážeme stejnou vlastnost spojitosti pro kovarianci chyby odhadu a signálu a odvo- díme, že pro integrální rovnici, která je splněna pro filtr, existuje vždy jedno- značně určené řešení, a to i za obecnějších předpokladů. Předvedeme několik příkladů, které ilustrují spojitou závislost pro signály řizené stochastickou diferenciální rovnicí se šumem daným frakcionálním Brownovým pohybem. 1
|
host ::
RSS.